注:下面内容是我分析信号的思维过程,由浅入深,授人鱼不如授人以渔,希望同学们能认真看完。
经常看我文章的话,就会发现,我会经常提到阻抗频率曲线,阻抗是跟频率相关的。并且,我们在分析电信号的时候,信号频率是非常重要的一个东西。对于新手来说,可能不知道它真正的意义所在。或者说对于各种电信号,它在我们脑海里应该是怎么样的一幅图景呢?
正弦波和方波哪个简单
我们先来思考下这个问题:你认为正弦波和方波哪个波形最简单?
如果是以前在上大学的时候,我会认为方波最简单。这不是显然的么,方波要么0,要么1,计算平均值什么的都能一口说出来,而正弦波弯弯扭扭,咋看都要复杂。
然而现在的话,自然是认为正弦波更为简单。那么为什么这么说呢?
首先,我们看下面这个电路,输入分别是正弦波和方波,输出你能马上得出来吗?
如果我们有了正弦波的幅度A和频率w(角频率w=2πf),那么正弦波可以用公式表达出来,即Vin=Asin(wt)。电容的阻抗是1/jwc,那么根据复阻抗的欧姆定律,我们可以得到输出端的电压表达式,即Vout=1/(1 jwRc) Asin(wt),j与相位有关系,所以输出端还是频率为w的正弦波,只是与原波形的相位有差别。
搞明白了正弦波,再来看方波。输入方波,频率也为w,输出波形形状也是方波吗?答案是否定的。可能会陷入下面误区:频率w没变,电容的阻抗是1/jwc也没变,所以同正弦波一样分析输出也是幅度有所缩小而已。
表面上看,这个误区的理解好像有道理,其实不然。造成这样错误理解的真正原因是因为没有理解电容的阻抗。我们常说电容的阻抗为1/jwc,其实它是有条件的,它只针对正弦波,方波是不行的,其它非正弦波同样也是不行的。
电容的阻抗1/jwC来源
为了明白这个,我们需要了解电容的阻抗1/jwc是怎么来的,下面就来简单推导一下,也不复杂。
首先需要用到电容的本质特性公式,I=Cdu/dt,这个公式是由电容的定义得来的,可以理解为公理,不需要证明。不过我并没有找到从这个公式直接推导出阻抗的过程(直接解方程的方式),如果有同学能够找到推导过程,麻烦在底下讨论区留言谢谢。
间接的方法是下面这样的:
逻辑是这样的,先假设电压是正弦波,那么可以推得电流表达式,然后用电压除以电流,就可以得到阻抗为1/jwc。如果没有了电压是正弦波的假设,那么就推不出来阻抗值。所以说电容的阻抗是1/jwc,这是有前提条件的,那就是只能是正弦波。
同样的道理,电感的阻抗jwL,也是对正弦波来说的。
傅里叶变换
再回我们的目的:如何知道方波的通过这个电路之后的精确波形?
既然正弦波在电容上的阻抗是确定的,那么能不能用正弦波来表示方波呢?当然是可以的,大名在外的傅里叶变换就是干这个事情的。
事实上,方波可以由无穷多的正弦波叠加而成,我做了个小视频,下面给同学们动态展示一下。
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